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『数学ガールの秘密ノート／学ぶための対話』を読み返す — 「理解」の数式展開

2021-12-26T10:35:33+00:00

どこの記事か失念したが，高校生に「なりたい職業」を訊いたらエンジニア・プログラマが1番になったとかならなかったとかいう話が Twitter の私の TL 上に流れていて¹，その派生なのか「プログラミングに数学は必要か？」みたいな話も聞こえてくる。

私はプログラミング上達の一番は他人のコードを大量に読むことで，その次がコードを大量に書くことだと思っている。設計の定石（デザイン・パターン）は後追いでもなんとかなる。知識やアイデアはあっても書かない（書けない）のなら意味はない。って，どこぞの小説家みたいなことを言ってるな（笑）

でも「他人のコードを読む」ためには読解力が必要なのよ。それも分析的に読む能力。「プログラミングに数学は必要か」とかいった話はその辺が絡んでくる。しかし，こう言っちゃあなんだが，数学を公式を暗記する科目だと思ってる人はプログラマに向かないと思う。少なくとも「掛け算は順序が大事」とか言ってるうちは永遠に無理だよな（笑）

「掛け算は順序が大事」ってのは要するに，数学は「理解」するものではなく「覚える」ものという愚行を象徴するものだろう。それってコピペ・プログラマが中身を理解せずにコードの塊をコピってきて「何で動かないの？」とドツボに嵌ってるのと殆ど変わらない。

…てなことを TL に書き散らして思い出したのが結城浩さんの『数学ガールの秘密ノート／学ぶための対話』だった。

数学ガールの秘密ノート／学ぶための対話: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2019-11-22 (Release 2019-11-23); Kindle版; B081RBRMFB (ASIN); 評価

[Comment] ノナちゃん登場。「僕」が大苦戦する回（笑）

reviewed by Spiegel on 2021-12-26 (powered by PA-APIv5)

って，あれ？私ってばこの本の感想文を書いてないや。

というわけで半日かけて読み返したので改めて読書感想文を書いてみる。

ささやき声でも真理は真理

数学ガールの秘密ノート／学ぶための対話より

『数学ガールの秘密ノート／学ぶための対話』はこれまでの「数学ガール」シリーズの中ではかなり異質だと思う。でも内容はいかにも著者の結城浩さんらしい内容で，随分前に出た『数学ガールの誕生』を読んだことのある人ならむしろ納得してしまうかもしれない。

この本の感想を一言で言うなら「『理解』の数式展開」という感じだろうか。

今回のメインキャラは書籍版では初登場の「ノナ」ちゃんだが，よくこういうキャラを思いつくよなぁ。私は脳内思考が言語的ではないのだが「ノナ」ちゃんもそうなんじゃないかなと思うと多少なりと感情移入してしまう。

プログラマって実はそれ単体では成立し得ない職業なのよ。本当に価値があって必要とされるのはコードそのものではなく，コードで記述される「何か」だから。これは傭兵としてあちこちのプロジェクトを渡り歩いている人こそ痛感するだろう。

でも，コンピュータ・ソフトウェアは良くも悪くも書いたとおりにしか動かない。利用者に（コードを逸脱して）忖度したりコードの行間を読んだりはしない。これは AI でも同じ。確率的な事象も統計推論も，書いたとおりにしか動かない。

ソフトウェアを思ったとおりに動かしたければ「思ったこと」を正しく理解し過不足なく記述しきらなければならない。そして，コンピュータ・システムにおいて「理解」と「記述」を助ける手段が「数学」なのである。

というわけで「数学は苦手だけどエンジニア・プログラマにはなりたい」という奇特な方には『数学ガールの秘密ノート／学ぶための対話』を読むところから始めるのはどうだろう。

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参考図書

数学ガールの誕生　理想の数学対話を求めて: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2013-09-13 (Release 2014-09-13); Kindle版; B00NAQA33A (ASIN); 評価

[Comment] 結城浩さんの講演集。こういう場所に立ち会える今の学生さんは羨ましい。

reviewed by Spiegel on 2013-09-21 (powered by PA-APIv5)

プログラマの数学第2版: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2018-01-16 (Release 2018-02-08); Kindle版; B079JLW5YN (ASIN); 評価

[Comment] タイトル通りプログラマ必読書。第2版では機械学習に関する章が付録に追加された。

reviewed by Spiegel on 2018-03-19 (powered by PA-APIv5)

いかにして問題をとくか: G. ポリア (著), Polya,G. (原著), 賢信, 柿内 (翻訳); 丸善 1975-04-01; 単行本; 4621045938 (ASIN), 9784621045930 (EAN), 4621045938 (ISBN); 評価

[Comment] 数学書。というか問いの立てかたやものの考え方についての指南書。のようなものかな。

reviewed by Spiegel on 2014-09-26 (powered by PA-APIv5)

いや「エンジニア・プログラマが1番」つっても全体の6%ほどだったような。多くは「わからない」と回答していて「そりゃそーだ」と思ったり。 ↩︎

「理解」は常にベータ版（『数学を学ぶあなたへ』を読む）

2020-11-28T03:52:35+00:00

「数学ガール」シリーズでおなじみの結城浩さんが面白いデジタル本を公開されている。

数学を学ぶあなたへ（結城浩ミニ文庫）｜結城浩

内容は

本書は、2020年11月7日〜9日にオンラインで開かれた、第67回早稲田大学理工学術院大学祭「理工展」有志企画「数学ってなにするの？」から依頼を受けて寄稿した文章をもとに、加筆修正したものです

数学を学ぶあなたへより

とのこと。早速購入した。

作家さんの頭の中を覗ける機会はそうあるものではない。それを垣間見ることのできるこの手の本は割と好物だったりする。

印象的なフレーズは

私は、数学を「読むこと」や「学ぶこと」全般の水準器のようにとらえているようです。数学では、日常生活における「常識」から何かを導くのではなく、書かれたことを読み、理解し、それらを組み合わせることが要求されます。そのため、何かを学ぶ上での骨組み・骨格が数学の中に存在していると感じます

数学を学ぶあなたへより

の部分。

何かを考える際，脳内には「言語的思考」と「非言語的思考」があると思う（脳科学云々はとりあえず無視する）。私は思考が横滑りしやすいが，横滑りしやすいのは「非言語的思考」の部分だという自覚はある。

更に言うと「言語的思考」と「非言語的思考」を繋ぐのは存外むずかしい。「非言語的思考」は思考の自由度が高いが，他者と「対話」したいなら「言語的思考」と「非言語的思考」が何らかの形で繋がっていないといけない。

これは結城浩さんの「数学ガール」シリーズを読むようになって納得できたことだが，正しい理解には対話が不可欠だと思う。対話によって「想像の地平線の向こう側」を識ることができるのだ。ならば「理解とはプロセス」であり，常に現在進行形で不完全なものなのだ。人はその不完全さを抱いて「理解を進める」のである

『数学ガールの秘密ノート「暗記と理解」』よりより

そうした「思考を繋ぐ」のが数学やプログラミングなんじゃないかと思うようになった。まぁ，プログラミングは数学の一種でもあるけど（笑）

また，思考をいったん「コード」に落とし込むことで「正しさ」を検証（証明）できるようになり，更にそれを外部化できるようになる。もちろん何を以って「正しい」とするかの criteria を設定する必要があるが。

たとえば，私は数理パズルが好きで，学生の頃から「数独」とかやりこんでいたが，今や「数独」はプログラムで解ける。つか「数独」をテーマにした数学論文も結構ある（らしい）。じゃあ，もう「数独」はつまらないパズルなのかというと，そんなことはない。本物のパズル好きは「問題を解く」から「問題を作る」にシフトするからだ。如何に「美しい問題」を作るかに集中し，作った問題の検証はプログラムにさせればいいのだ。

これからの時代，「問題を解く」ことはどんどん外部化されていくだろう。その代わり，如何に上手く問題を立てれるかが重要になってくる。正しい答えは正しい問いからしか導けない。

それこそが「理解」を次のステージに進める一歩である。

ところで…

note のコンテンツを独自ドメインで運用するのはいいのだが，ブラウザ以外でアクセスするとリダイレクトの無限ループにハマってしまう。

$ curl -L https://mm.hyuki.net/n/n00bf973ae131
curl: (47) Maximum (50) redirects followed

（なお mm.hyuki.net に限らない）

これって crawler に対する嫌がらせなのかしらん。

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「他者を理解」できるわけがない

参考図書

数学ガールの誕生　理想の数学対話を求めて: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2013-09-13 (Release 2014-09-13); Kindle版; B00NAQA33A (ASIN); 評価

[Comment] 結城浩さんの講演集。こういう場所に立ち会える今の学生さんは羨ましい。

reviewed by Spiegel on 2013-09-21 (powered by PA-APIv5)

いかにして問題をとくか: G. ポリア (著), Polya,G. (原著), 賢信, 柿内 (翻訳); 丸善 1975-04-01; 単行本; 4621045938 (ASIN), 9784621045930 (EAN), 4621045938 (ISBN); 評価

[Comment] 数学書。というか問いの立てかたやものの考え方についての指南書。のようなものかな。

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『数学ガールの秘密ノート「暗記と理解」』より

2018-12-21T10:05:32+00:00

Twitter で感想を呟いたら微妙に反応があったみたいなので，調子に乗ってブログ記事に再構成してみる。

暗記は思考のショートカット

私はとにかく暗記が苦手で，学校の授業では如何にして暗記の量を減らせるかで苦心していた。今でも暗記は全く駄目で，特に論理でないものは覚えるのに苦労する。顔とか名前とかパスワード（パスフレーズ）とか¹。たぶん脳みそに何か欠陥があるんじゃないかな。

ホンマ，皮肉でもなんでもなく暗記が得意な人とか写真記憶とか羨ましい。ラノベみたいなチート能力は要らないが，暗記能力は欲しかったよ。

小中の算数は計算問題が主で壊滅的な成績。暗算ができなくて計算に他人の3倍くらいかかるからだ。ドリルの宿題はひたすら苦行だった（遠い目）。中3で代数や幾何の証明問題が増えてきてようやく人並みの成績がとれるようになった。証明問題は証明のフローさえ覚えれば幾らでも応用と組み合わせができるし。これで高校は理数科に入ってしまったのだから人生は分からないものである。

私は「暗記は思考のショートカット」と認識している。例えば数学なら，公式や定理・公理をきちんと覚えて使いこなせば「理解を進める」ための強力な道具となるだろう。あるいは自然言語の「語彙」を覚えるとか，プログラミングでフレームワークやデザイン・パターンを覚えたり，といったことも同様だ。

理解とはプロセス

数学の成績が上向いてきて気がついたのだが，自分が理解していることと理解していることを（テスト等で）他人に証明することは別問題である。これに気づいてからは学校成績は気にならなくなった。まぁ両親がそういうのにあまり煩くない人だからというのもあるけど，今にして思えば，これも中二病の一種だったんだろう。

そもそも大前提として「人は想像を絶するものは想像できない」。じゃあ，どうやったら人は「想像の地平線の向こう側」に行けるのか。

これは結城浩さんの「数学ガール」シリーズを読むようになって納得できたことだが，正しい理解には対話が不可欠だと思う。対話によって「想像の地平線の向こう側」を識ることができるのだ。ならば「理解とはプロセス」であり，常に現在進行形で不完全なものなのだ。人はその不完全さを抱いて「理解を進める」のである。

理解を進める

「理解すること」は「理解を進める」ことと同義だと私は思う。ときには立ち止まっても後ろを向いても構わないが，トータルで前に進めているのなら「理解している」と言っていいんじゃないだろうか。

ちなみに私の場合，本を読むときには（自分にとって）難しい本を1冊買って，その本を理解するために別の本を大量に買ったり，最近ではネットで調べたりする。モットーは「情報は広く知識は深く」である。いつもうまくいくとは限らないけど（笑）

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AI の読解力，人の読解力

参考図書

数学ガールの誕生　理想の数学対話を求めて: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2013-09-13 (Release 2014-09-13); Kindle版; B00NAQA33A (ASIN); 評価

[Comment] 結城浩さんの講演集。こういう場所に立ち会える今の学生さんは羨ましい。

reviewed by Spiegel on 2013-09-21 (powered by PA-APIv5)

いかにして問題をとくか: G. ポリア (著), Polya,G. (原著), 賢信, 柿内 (翻訳); 丸善 1975-04-01; 単行本; 4621045938 (ASIN), 9784621045930 (EAN), 4621045938 (ISBN); 評価

[Comment] 数学書。というか問いの立てかたやものの考え方についての指南書。のようなものかな。

reviewed by Spiegel on 2014-09-26 (powered by PA-APIv5)

だからパスワードを覚えなくても安全に運用できる方法を考えたりするわけだ。自分で書いたコードは覚えようとしなくても自然と頭に浮かぶのにねぇ。 ↩︎

AI の読解力，人の読解力

2016-11-19T16:04:36+00:00

AI研究者が問う　ロボットは文章を読めない　では子どもたちは「読めて」いるのか？(湯浅誠) - 個人 - Yahoo!ニュース

ある意味で面白い話だが「キーワードとパターンで解いている子、読んでいる子が意外にいる」ことに驚いているということが私には驚きだ。そんなの当たり前じゃないか。

ちなみに私も読解力に関しては得意ではない¹。上の記事の最後のほうに問題が2つ掲げられているが，私は2問目を間違えた。私は子どものころからこういうミスが多い。「条件忘れのテトラ」ちゃんに深く同情する。

そういえば，子どものころは試験に出てくる問題にわざと誤読させるようなものも多かったので，余白に（絵心はないので）図を描いて問題を理解するように努めていた。これも一種の受験テクニックである。

日本の学校教育は「学問」を教えない。基本的に問題を提示して解かせるだけだ。その問題をどうやって解くかは（受験テクニックを含めて）教えてくれるが，問題の背景にある学問体系について学ばせてくれるわけではない。学びたいなら自前でやることになる。他人が提示した問題を解いていくだけなら「それなんてエキスパートシステム？」となるのは当然の帰結なのである。

これは結城浩さんの「数学ガール」シリーズを読むようになって納得できたことだが， 正しい理解には対話が不可欠 だと思う。なぜなら「理解はプロセス」だからだ。

「問題文を読んでもそこに何が書かれているのかわからない」子を教えていた時のお話 | Books&Apps

この記事では子どもの読解力を上げるために文章を絵で表す方法を紹介している。絵本の読み聞かせがヒントになっているらしい。

このやり方のポイントは絵を起点として対話が発生していることだと思う。絵を文章にリンクさせるには何らかのトリガーが必要で，そのトリガーが「対話」なのである。たとえば「読み聞かせ」ではなく子どもがひとりで絵本を読んでいるだけで理解が進むのか？ということだ。

「キーワードとパターンで解く」だけでは理解を放棄しているのと同じで，それを率先してやっているのが日本の学校なのである。その呪縛から抜け出せるかどうかは（学校の外側の）環境に大きく依存する。それなら富裕層が有利で貧困層が相対的に不利になってしまうのは当たり前とも言える²。

機械も同じ。

今の世の中にある殆んどの AI はエキスパートシステムのバリエーションにすぎない。でも機械にはいくらでも「キーワードとパターン」の組み合わせを詰め込むことができる。それは理解しているのとは異なるが「人間エキスパートシステム」を機械に置き換える程度には優秀であると言えよう。

そもそも私は機械が人の言葉をそのまま理解する必要はないと思っている。 Human readable な言葉と machine readable な言葉は異なっていて当たり前だが，機械はまだ machine readable な言葉を獲得していない。機械が自身の言葉を獲得して初めて人との対話が始まるのではないだろうか。

これはたぶん素敵なことである。私たち人間は「理解」について完全に理解しているとは言えない。でも機械が人に迫り凌駕していくことで人もまた「理解」について理解を進めることができる。

まさしくこれは「進化」なのである。

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参考図書

数学ガールの誕生　理想の数学対話を求めて: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2013-09-13 (Release 2014-09-13); Kindle版; B00NAQA33A (ASIN); 評価

[Comment] 結城浩さんの講演集。こういう場所に立ち会える今の学生さんは羨ましい。

reviewed by Spiegel on 2013-09-21 (powered by PA-APIv5)

いかにして問題をとくか: G. ポリア (著), Polya,G. (原著), 賢信, 柿内 (翻訳); 丸善 1975-04-01; 単行本; 4621045938 (ASIN), 9784621045930 (EAN), 4621045938 (ISBN); 評価

[Comment] 数学書。というか問いの立てかたやものの考え方についての指南書。のようなものかな。

reviewed by Spiegel on 2014-09-26 (powered by PA-APIv5)

そもそも私の脳内思考は言語的ではないので言語を脳内思考に decode し更にその結果を言語に encode するというのは割としんどい作業なのだ。歳をとってからは更にしんどくなった。私が拙い文章ながらブログを続けているのは訓練の一種だと思っている。楽しんでやってるけどね。もっとも周囲には「君のブログは何が書いてあるのか分からない」と酷評なのだが orz 仕事で書くドキュメントなら記述フォーマットが決まってるので問題ないんだけどねぇ。 ↩︎
これは「なんでも学校でやれ」と言っているのではない。子どもの教育というのは（どんなに教育者が頑張っても）学校の中だけでは完結しないということだ。それを踏まえた上で教育政策を行うべきなのである。 ↩︎