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算数のお時間

2026-08-09T06:32:35+00:00

今日は珍しく Facebook の TL から。

たぶんお子さんの夏休みの宿題かな。対象は中学2年生らしい。問題はこんな感じ。

3の累乗の計算の結果は，

\[ 3^1 = 3,\ 3^2 = 9,\ 3^3 = 27,\ 3^4 = 81,\ 3^5 = 243,\ 3^6 = 729,\ \cdots \]

$3^{100}$ を計算した数の一の位の数を答えなさい。

例を眺めて1の位が 3, 9, 7, 1, 3, 9, … と4つの値で循環してることに気づけば， $3^{100} = 3^{(4\cdot25)}$ なので，1の位が1になることは直感的に分かる。中学生の回答としてはこれでOK？でも，もう少し数学っぽく記述してみたいよね。

合同式を使って書く

計算結果の1の位に注目するということは，10で割った余りを求めることと同じである。つまり問題は

\[ 3^{n} \bmod{10} \]

を解くことと同じである。 3の100乗は

\[ 3^{100} = 3^{(4\cdot25)} = (3^4)^{25} \]

であり，このうち $3^4$ に注目すると，問題文より

\[ 3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{10} \]

なので

\[ 3^{100} = (3^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod{10} \]

と書ける。

数学的帰納法を使って書く

この問題を更に一般化してみよう。つまり $0$ 以上の任意の整数 $k$ に対して

$n$	$3^n \bmod {10}$
$4k$	$1$
$4k+1$	$3$
$4k+2$	$9$
$4k+3$	$7$

が成り立つことを示せればいい。

まず $k=0$ のときは問題文より

$n$	$3^n \bmod {10}$
$0$	$1$
$1$	$3$
$2$	$9$
$3$	$7$

となることは明らか。

ある $k$ で上が成立すると仮定した場合， $k+1$ のときも成立することを示す。まず $3^{4(k+1)}$ について

\[ 3^{4(k+1)} = 3^{4k+4} = 3^{4k} \cdot 3^4 \equiv 1 \cdot 1 \equiv 1 \pmod{10} \]

となり $3^{4(k+1)} \equiv 1 \pmod{10}$ も成り立つことが分かる。続けて

\[ \begin{align*} 3^{4(k+1)+1} &= 3^{4(k+1)} \cdot 3 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \pmod{10} \\ 3^{4(k+1)+2} &= 3^{4(k+1)+1} \cdot 3 \equiv 3 \cdot 3 \equiv 9 \pmod{10} \\ 3^{4(k+1)+3} &= 3^{4(k+1)+2} \cdot 3 \equiv 9 \cdot 3 \equiv 7 \pmod{10} \end{align*} \]

と残りのケースも成り立つことに分かる（直前の合同式の結果を用いて計算している点に注目）。これにより $0$ 以上の任意の整数 $k$ に対して

$n$	$3^n \bmod {10}$
$4k$	$1$
$4k+1$	$3$
$4k+2$	$9$
$4k+3$	$7$

が成り立つと言える。以上より $3^{100} = 3^{4\cdot25} \equiv 1 \pmod{10}$ と計算できる。

オイラーの定理を使って書く

他に面白い解き方がないかなぁ，と Kagi Assistant に訊いてみたら，オイラーの定理を使った解法を教えてもらった。

オイラーの定理とは，互いに素（最大公約数が $1$ のみ）な整数 $a$ と $n$ に対して

\[ a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]

が成り立つというもの¹。ここで $\varphi(n)$ はオイラーの totient 関数と呼ばれるもので，$1$ から $n$ までの整数のうち $n$ と互いに素なものの個数を表す。

$3$ と $10$ は互いに素で，かつ $\varphi(10) = \varphi(2)\varphi(5) = 4$ なので，オイラーの定理より

\[ 3^{\varphi(10)} = 3^4 \equiv 1 \pmod{10} \]

が保証されているということらしい。あとは前節までの記述に従って

\[ 3^{100} = 3^{(4\cdot25)} \equiv 1 \pmod{10} \]

と書ける。

オイラーの定理は思いつかんかったわ。

中学生はどうやって書く？

オイラーの定理は中学生は習ってないよね，たぶん。合同式や数学的帰納法は習ってるっけ？まぁ，いいか。習ってないなら，これを夏休みの自由研究にしてしまえ（笑）

参考

数学ガールの秘密ノート／整数で遊ぼう: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2013-12-17 (Release 2014-07-24); Kindle版; B00L0PDMJ0 (ASIN); 評価

[Comment] 小中学生にお薦め。小学生高学年くらいならギリで理解可能と思われ。

reviewed by Spiegel on 2014-09-26 (powered by PA-APIv5)

数学ガール／フェルマーの最終定理: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2008-07-29 (Release 2014-03-12); Kindle版; B00I8AT1CM (ASIN); 評価

[Comment] 「フェルマーの最終定理」というサブタイトルをみたとき「なんちう大風呂敷を広げるねん」と思ったものだが，実際に読んでみるとぐいぐい引き込まれる。ひっさびさに頭を使ったような気がする。

reviewed by Spiegel on 2019-01-13 (powered by PA-APIv5)

オイラーの定理の証明については Wikipedia 等を参考にどうぞ。 ↩︎

ちょこっと MathJax 番外編： V4 へのアップグレード

2025-09-01T08:55:24+00:00

先月の話だが MathJax の v4 がリリースされていた。

MathJax v4.0.0 now available | MathJax

主な内容は以下の通り：

Extended font support (11 new fonts)

A new default font with much greater character coverage.

Line-breaking support (for in-line as well as displayed equations)

An updated expression explorer that is now on by default.

Separation of speech generation into a webworker thread for better performance.

Support for HTML embedded in TeX and MathML expressions.

Availability as ES6 modules as well as CommonJS modules.

New TeX extensions, including the begingroup extension from v2 (with more features), and several font-related extensions.

Inclusion of the textmacros extension in all combined component files.

Updated mathtools package to include the changes from 2022 and 2024.

Improvements in the baseline alignment of text in CHTML output in WebKit-based browsers.

Improved stretchy delimiters in CHTML output.

More promise-based conversion and typesetting calls at the document level.

via MathJax v4.0.0 now available

本来なら Release セクションに書くべきなんだろうけど，今回は「ちょこっと MathJax」シリーズの番外編として主にアップグレード時の注意点をいくつか記しておく。といっても v3 から v4 へのアップグレードで考慮すべき点は多くない。詳しくは以下を参照のこと：

Upgrading from v3 to v4 — MathJax 4.0 documentation

URL に注意

v4 では CDN の URL は以下の通りになっている。

<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@4/tex-mml-chtml.js"></script>

v4 は ES6 モジュールとして実装されているため，パスから es5 が除かれている。あと async から defer に変わっている。 id 指定もなくなってるな。

バージョンを厳密に指示したい場合は

<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@4.0.0/tex-mml-chtml.js"></script>

といった感じに指定する。

利用可能なコンポーネントは以下の通り。

Component	Input	Output
`tex-chtml`	TeX	CHTML
`tex-svg`	TeX	SVG
`tex-mml-chtml`	TeX, MathML	CHTML
`tex-mml-svg`	TeX, MathML	SVG
`mml-chtml`	MathML	CHTML
`mml-svg`	MathML	SVG
`tex-chtml-nofont`	TeX	CHTML
`tex-svg-nofont`	TeX	SVG
`tex-mml-chtml-nofont`	TeX, MathML	CHTML
`tex-mml-svg-nofont`	TeX, MathML	SVG
`mml-chtml-nofont`	MathML	CHTML
`mml-svg-nofont`	MathML	SVG

v3 にあった -full 付きのコンポーネントはなくなった。その代わり autoload 拡張機能で必要な機能を自動的に読み込むため，通常は気にする必要はない¹。

利用可能なフォントが増えた

v4 では11種類のフォントが利用可能になった。

Font Name Original Source

mathjax-newcm Based on New Computer Modern (now the default font)

mathjax-asana A version of the Asana-Math font

mathjax-bonum A version of the Gyre Bonum font

mathjax-dejavu A version of the Gyre DejaVu font

mathjax-fira A version of the Fira and Fira-Math fonts

mathjax-modern A version of Latin-Modern

mathjax-pagella A version of the Gyre Pagella font

mathjax-schola A version of the Gyre Schola font

mathjax-stix2 A version of the STIX2 font

mathjax-termes A version of the Gyre Termes font

mathjax-tex The original MathJax TeX font

Font Name	Original Source
`mathjax-newcm`	Based on New Computer Modern (now the default font)
`mathjax-asana`	A version of the Asana-Math font
`mathjax-bonum`	A version of the Gyre Bonum font
`mathjax-dejavu`	A version of the Gyre DejaVu font
`mathjax-fira`	A version of the Fira and Fira-Math fonts
`mathjax-modern`	A version of Latin-Modern
`mathjax-pagella`	A version of the Gyre Pagella font
`mathjax-schola`	A version of the Gyre Schola font
`mathjax-stix2`	A version of the STIX2 font
`mathjax-termes`	A version of the Gyre Termes font
`mathjax-tex`	The original MathJax TeX font

via MathJax Font Support — MathJax 4.0 documentation

このうち mathjax-newcm については前節でが付いているコンポーネントに含まれている。 mathjax-newcm 以外のフォントを利用したい場合は -nofont が付いているコンポーネントを指定した上で，以下のように設定する。

<script>
MathJax = {
  output: {
    font: 'mathjax-stix2'
  }
};
</script>
<script defer src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@4/tex-mml-chtml-nofont.js"></script>

ちなみに mathjax-tex は v3 の既定フォントなので， v3 の環境に合わせたい場合はこれを指定する。

残念ながら，みんな大好き Euler フォントはない²。また複数のフォントを組み合わせることもできなさそうだ。

MathJax 設定例

設定例として，このブログサイトにおける設定を挙げておく（2025-09-01 時点）。

<script>
MathJax = {
  loader: {
    load: ['[tex]/ams', '[tex]/textcomp']
  },
  tex: {
    packages: {'[+]': ['ams', 'textcomp']},
    inlineMath: {'[+]': [['$', '$']]},
    tags: 'ams',
    macros: {
      ssqrt: ['\\sqrt{\\smash[b]{\\mathstrut #1}}', 1],
      tcdegree: ['\\unicode{xb0}'],
      tccelsius: ['\\unicode{x2103}'],
      tcperthousand: ['\\unicode{x2030}'],
      tcmu: ['\\unicode{x3bc}'],
      tcohm: ['\\unicode{x3a9}']
    }
  },
  chtml: {
    displayAlign: "left",
    displayIndent: "2em"
  },
  output: {
    font: 'mathjax-stix2'
  }
};
</script>
<script defer src="//cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@4/tex-chtml-nofont.js"></script>

参考図書

［改訂第9版］LaTeX美文書作成入門: 奥村晴彦 (著), 黒木裕介 (著); 技術評論社 2023-12-09 (Release 2023-12-09); 単行本（ソフトカバー）; 4297138891 (ASIN), 9784297138899 (EAN), 4297138891 (ISBN); 評価

[Comment] 2023年末に出てるのに気が付かなかった orz 今回は版元で PDF 版を買った。

reviewed by Spiegel on 2024-04-07 (powered by PA-APIv5)

ams, bbm, bboldx, begingroup, cases, centernot, colortbl, dsfont, empheq, mathtools, physics, require, setoptions, textcomp, textmacros, units, upgreek 各機能は autoload の対象にならない。新しく追加される拡張機能は autoload の対象にならない場合があるそうで，将来的に autoload が廃止される可能性もあるらしい。どうなるやら。 ↩︎
“Font Extensions” に Euler フォントの指定方法が書かれていたがサンプルのままでは上手く行かなかった。拡張用のフォントは自前で用意しろってことらしい。 ↩︎

数学は美しいか — 『数学ガール／リーマン予想』を読む（夏の読書感想文3）

2025-08-29T16:50:48+00:00

個人的にこの夏の課題図書だった『数学ガール／リーマン予想』をようやく読み終わったですよ。いつの間に発売日を忘れてて， Kindle 端末にダウンロードされてたのにしばらく気づかず（予約はしてた），その後も私的な事情で後回しにしてたら8月終わるぢゃん！

というわけで今週に入って慌てて読み始めた。この記事を以って今年の「夏休みの読書感想文」は完了である。あまり内容に踏み込むことは書かないようにしているが，ネタバレチックな記述もちらほらあるので，そこはご容赦を。

人生王道は学園ラブコメ

読後，というか読み始めから感じていたが

！！！甘酸っぺぇ！！！

昔は「人生王道は学園ラブコメ」（by 竹本泉）とか言ってたのに「数学ガール」シリーズ以外に（マンガでもラノベでも）学園ラブコメ読まなくなっちゃったよ。つか「学園ラブコメ」ってジャンルは今もあるのだろうか。

その「数学ガール」シリーズもこれで最終巻。最初の書籍版『数学ガール』が出たのが2007年で，あれから18年も経った。学園ものということもあり，作中時間は主人公「僕」が高校1年の春から卒業までの約3年間。巻数にして7巻。他にも「数学ガールの秘密ノート」シリーズなどスピンオフ作品もあり Web 連載も続いている。「数学ガール」自体は書籍版前から不定期に公開されてたしな。物凄く息の長い作品である。

最近のラノベでは珍しいかもしれないが，作中では一貫して「僕」の視点・主観で物語が進行する（第三者視点の描写もなし）。他のミルカさんやテトラちゃんなどの登場人物は「僕」の認知フィルタを通してしか垣間見ることができないというのが想像力を掻き立てるし，同じ視点が続くのに中弛みしないってのはホンマに凄いと思う。

再読しなきゃ

今回のテーマになっている複素関数やリーマン予想など数学寄りの話題は，多分どなたかが感想なり解説なり書いておられるだろうからここでは書かない。まぁ，いつものことだが（笑）

『数学ガール／リーマン予想』ではいつにも増して「「数学ガール／○○」を参照」という脚注が多いように見える。まさに集大成って感じ。言い換えると，この1冊では完結しない内容なのよ。数学成分をちゃんと理解したいなら，少なくとも「数学ガール」シリーズは全部読み返す必要があると思う。読み返すなら紙とペンが必要だな（またはタブレットとペン？）。

ソフトバンク・クリエイティブ様におかれましては「数学ガール」シリーズおよび「数学ガールの秘密ノート」シリーズの PDF 版をリリースしてもらえないでしょうか。きょうび技術解説書は PDF 版が当たり前ですし，複数の書籍を横断的に読むには Kindle はもちろん紙の本でも不便なのですよ。勉強はデジタルな環境でできるのに，教科書は紙か DRM でガチガチに固められた似非デジタル本というのはニンともカントも（ただのラノベやマンガなら Kindle でもいいんだけど）。「数学ガール」シリーズは数学入門書としても優れていると思うので，是非 PDF 版を！

数学は美しいか

『数学ガール／リーマン予想』に限らず「数学ガール」シリーズでは数学の「美しさ」がテーマのひとつになっていると思う。でも何を以って「美しい」というのだろう。

個人的に推し VTuber のひとりである「儒烏風亭らでん」は「美術鑑賞は経験で観る」と言っている。

10章のクライマックスで「僕」を始めミルカ，テトラ，ユーリ，リサの主要登場人物が揃って「リーマン予想」を始めとする数学議論を始めるが，各キャラで数学の知識背景・理解度が異なるため議論されるトピックに対する反応も異なっている。これは面白い描写だなぁと思って読んでいた。私なんか最年少のユーリちゃんの立ち位置に近く，10章は（ユーリちゃんと同じく）議論の筋を追うので精一杯だったよ。複素関数とか真面目に勉強しなかったもんなぁ，学生時代。

私が「数学ガール」シリーズを読んでいつも思う感想は「結城浩さんの本はよく整備された遊歩道を散歩するような気楽さと安心感がある」なのだが「遊歩道を散歩」ってのは体験で経験そのものなんだよね。

実家に帰郷 (かえ) って自転車を再開して自力で行ける範囲が少しずつ広がって。そうすると周囲の風景に目が向く余裕ができてくる。

田んぼ道 | Flickr

こういった見渡す限り田んぼの風景は私の子供時代の原風景と直結していて，だからこそ心が動くのかもしれない。

「数学ガール」シリーズの凄いところは，物語を通じて数学や数学の歴史を（追）体験できる点だと思う。それによって私達読者も登場人物（の誰か）と体験を共有できる。その体験を通じて数学の「美しさ」も共有できるかもしれない。

「美しい」とは何だろう。知性の片鱗か。それとも症状か。

着地点のその先へ

『数学ガール／リーマン予想』の（数学以外の）テーマのひとつは卒業・進学・将来への期待と不安といったところだろう。いやぁ，ホンマ甘酸っぱいなぁ（笑）

IT 業界に入って最初の会社のボスには色々なことを教わった。たとえば「従業員は着地点を目指して仕事をするが，経営者は着地点の先を見ている」とか。まぁ，大昔のことだからね。今のシステム開発はイテレーションが普通だし，着地点だけ見ていてはダメだろうけど。

6章に対数関数のリーマン面が出てくるが，上手い暗合だなと感じた。そもそも「リーマン予想」という未解決の問題を大テーマに掲げて「将来への期待と不安」と対比させているのが秀逸。日常と結びついた知識・経験は強く心に残るよね。それこそが「美しい」と感じる源泉なのか？

私が学生の頃は何も考えてなかったな。一応「受験戦争」世代なんだけどねぇ。まぁ，歳とると辛かったことの記憶は薄れてしまうらしいし，本当は色々考えていたのかもしれないけど。

人生はスタートの連続である。「人は皆終わりと始まりの狭間」にいる。よい読書体験でした。

ブックマーク

参考

数学ガール／リーマン予想　【電子特典付き】: 結城浩 (著), たなか鮎子 (イラスト); SBクリエイティブ 2025-08-07 (Release 2025-08-07); Kindle版; B0F625LQB8 (ASIN); 評価

[Comment] 「数学ガール」シリーズ最終巻。甘酸っぺぇ！感想はこちら。 Kindle 版はおまけのお話がついていてお得。

reviewed by Spiegel on 2025-08-29 (powered by PA-APIv5)

数学ガール: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2007-06-26 (Release 2014-03-12); Kindle版; B00EYXMA9I (ASIN); 評価

[Comment] ミルカさんとの衝撃の encounter。数学ガールがワルツを踊る。

reviewed by Spiegel on 2014-02-14 (powered by PA-APIv5)

ミッドサマーシトラス: ReGLOSS (メインアーティスト); cover corp. 2025-07-11 (Release 2025-07-11); MP3 ダウンロード; B0FGXSM5LL (ASIN); 評価

[Comment] 青くんがおる！ MV を見て衝動買い。 mora で高解像度版が買える。夏の歌というか（あの頃の）夏を振り返る歌って感じだろうか。よき！

reviewed by Spiegel on 2025-07-12 (powered by PA-APIv5)

落噺 (儒烏風亭らでん SOLO): ReGLOSS (メインアーティスト); cover corp. 2025-08-03 (Release 2025-08-03); MP3 ダウンロード; B0FKB9Y1GL (ASIN); 評価

[Comment] 「おとしばなし」と読むらしい。語るように歌い，歌うように語る。「儒烏風亭らでん」らしい秀逸な作品。 mora で高解像度版が買える。

reviewed by Spiegel on 2025-08-03 (powered by PA-APIv5)

エルの唄～メリナ Full ver.～: 村川梨衣 (メインアーティスト); WFRecords 2021-06-23 (Release 2021-06-23); MP3 ダウンロード; B0964KPJ24 (ASIN); 評価

[Comment] ゲーム「アナザーエデン」の挿入歌。「アナザーエデン」の中でも好きなエピソード。

reviewed by Spiegel on 2022-08-22 (powered by PA-APIv5)

円周率の日の皆既月食

2025-03-14T11:25:21+00:00

今日 2025-03-14 は望（満月）で皆既月食があった。関東以東なら月の出直後に終わりかけの部分月食が見れたそうだが，残念ながら西日本ではギリギリ半影食が見れるかどうかのタイミングだった。まぁ，半影食を肉眼で確認するのはほぼ無理だと思うけど。

ありがたいことに YouTube のすばる望遠鏡チャネルで皆既月食ライブをやっておられた。アーカイブも見れる。

皆既月食ライブ / Total Lunar Eclipse Live from Maunakea, Hawai‘i - YouTubeより

ありがたや 🙇

Flickr にもたくさんの写真が上がっている。とりあえずひとつ挙げておく。

via “Full Blood Worm Moon” by Thomas Cizauskas (CC-BY-NC-ND)

もうひとつ。今日は3月14日。ということは円周率の日で数学の日でアインシュタインの誕生日なのよ。

Pi Day Activities for the Classroom – Collection | NASA JPL Education

で，今日の APOD (Astronomy Picture of the Day) がこれ。

APOD: 2025 March 14 - Moon Pi and Mountain Shadow

写真だけ見てもピンとこなかったが，説明文に

What phase of the Moon is 3.14 radians from the Sun? The Full Moon, of course. Even though the Moon might look full for several days, the Moon is truly at its full phase when it is Pi radians (aka 180 degrees) from the Sun in ecliptic longitude. That’s opposite the Sun in planet Earth’s sky. […] March 14 2025, the moon is Pi radians from the Sun at exactly 06:55 UTC. That’s about three minutes before the midpoint of the March Full Moon’s total lunar eclipse.

via APOD: 2025 March 14 - Moon Pi and Mountain Shadow

とか書いてあって，正直「ヤラレタ」と思ったね。こんな見事な駄洒落に気が付かないとか orz

via 日食・月食時の「太陽-月-地球」関係図。黒色の範囲が日食・月食を観察できる範囲である。

そう。皆既月食は地球から見て太陽と月が $\pi\,\mathrm{rad.}$ の位置関係になるのよ。偶然とはいえ，なんという見事な駄洒落（大事なことなので2回言いました）。

ちなみに今年はもう1回，9月8日（月）早朝に皆既月食があり，これは日本全国で見られる。早朝というか日曜深夜というべきか。 1時28分頃から食が始まり2時30分から皆既食になる。皆既食は3時53分頃まで続き，食が終わるのが4時56分頃。しかもこのときは皆既食中に6等〜7等の星の星食（月没帯食）が3つくらい見れるらしい。望遠鏡を持ってる方は必見ですな。

晴れたらいいねぇ。

ブックマーク

参考図書

天文年鑑 2024年版: 天文年鑑編集委員会 (編集); 誠文堂新光社 2023-11-24 (Release 2023-11-24); 単行本; 4416623410 (ASIN), 9784416623411 (EAN), 4416623410 (ISBN); 評価

[Comment] 天文ファン必携。2024年版。これが届くと年末って感じ。

reviewed by Spiegel on 2023-11-25 (powered by PA-APIv5)

天体物理学: Arnab Rai Choudhuri (著), 森正樹 (翻訳); 森北出版 2019-05-28; 単行本; 4627275110 (ASIN), 9784627275119 (EAN), 4627275110 (ISBN); 評価

[Comment] 興味本位で買うにはちょっとビビる値段なので図書館で借りて読んでいたが，やっぱり手元に置いておきたいのでエイヤで買った。まえがきによると，この手のタイプの教科書はあまりないらしい。内容は非常に堅実で分かりやすい。理系の学部生レベルなら問題なく読めるかな。

reviewed by Spiegel on 2019-11-13 (powered by PA-APIv5)

数学ガールの秘密ノート／丸い三角関数: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2014-04-23 (Release 2015-04-18); Kindle版; B00W6NCLJM (ASIN); 評価

[Comment] 丸と三角の楽しい関係。頑張れば小学生高学年でも大丈夫。

reviewed by Spiegel on 2014-11-30 (powered by PA-APIv5)

数学ガール: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2007-06-26 (Release 2014-03-12); Kindle版; B00EYXMA9I (ASIN); 評価

[Comment] ミルカさんとの衝撃の encounter。数学ガールがワルツを踊る。

reviewed by Spiegel on 2014-02-14 (powered by PA-APIv5)

Typst の数式モード

2025-02-26T13:34:05+00:00

今回は今まで敢えて後回しにしていた数式モード（math mode）¹ の話。パッと見は $\mathrm{\LaTeX}$ 記法に似ているのだが色々と違っている。

LaTeX 記法とは似て非なる…

たとえば $\mathrm{\LaTeX}$ 記法では

エネルギーと質量には $E=mc^2$ の関係がある。

と書けば

エネルギーと質量には $E=mc^2$ の関係がある。

という感じに組版される。これをそのまま Typst で組版しようとすると

$ typst compile math.typ
error: unknown variable: mc
  ┌─ math.typ:1:14
  │
1 │ エネルギーと質量には $E=mc^2$ の関係がある。
  │                         ^^
  │
  = hint: if you meant to display multiple letters as is, try adding spaces between each letter: `m c`
  = hint: or if you meant to display this as text, try placing it in quotes: `"mc"`

てな感じで怒られる。どうも2つ以上の文字の綴りは何らかのシンボルと解釈されるらしい。たとえば $\mathrm{\LaTeX}$ 記法の以下の数式は

\[
  \left( \int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt x} dx \right)^2 =
  \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \frac{1}{2k+1} =
  \prod_{k=1}^\infty \frac{4k^2}{4k^2-1} =
  \frac{\pi}{2}
\]

『［改訂第9版］LaTeX美文書作成入門』p.221より

equation (STIX2 Math)

Typst 記法だと以下のようになる。

$
  (integral_0^infinity (sin x) / sqrt(x) dif x)^2 =
  sum_(k=0)^infinity (2k)! / (2^(2k) (k!)^2) 1 / (2k+1) =
  product_(k=1)^(infinity) (4k^2) / (4k^2-1) =
  pi / 2
$

equation by Typst (STIX2 Math)

$\mathrm{\LaTeX}$ 記法の { ... } に相当するものが Typst 記法だと ( ... ) になってるのが紛らわしい。おそらく文脈で判別してるんだろうけど。あとインライン数式も別行立て数式もいずれも $ ... $ なのも紛らわしい。こちらは $E=m c^2$ と $ E=m c^2 $ の違い。数式の前後に空白文字や改行が入ってると別行立て数式と認識するらしい。

これは $\mathrm{\LaTeX}$ 記法に慣れている人はちょっと大変かもしれない。 Pandoc には $\mathrm{\LaTeX}$ 記法 → Typst 記法への変換機能があるそうだが，そもそも Typst を使うような人はわざわざ Pandoc を導入しないと思う。

フォントの設定

数式モードのフォントを指定する場合は以下のように記述する。

#show math.equation: set text(font: "New Computer Modern Math")

既定は New Computer Modern Math。数式モード用のフォントには通常のフォントファイルは使えないので注意。

Note that only special OpenType math fonts are suitable for typesetting maths.

via Math fonts

試しに Euler フォントで試そうと思ったが，そういやこれってグリフが全部揃ってなかったわ。 STIX2 フォントのほうはこんな感じで上手くいった²。

#set text(font: (
  (
    name: "STIX Two Text",
    covers: "latin-in-cjk",
  ),
  "Noto Serif CJK JP"
), lang: "ja")
#show math.equation: set text(font: ("STIX Two Math"))

アルベルト・アインシュタインは1905年に発表した特殊相対性理論を通して以下の関係を導き出した。

$
  E = m c^2 "（エネルギーと質量の等価性）"
$

数式表現（STIX2 フォント）

ただし，上の例では数式モードに日本語が入った場合に問題が出る。どうも最初の #set text( ... ) のルール設定が数式モードでは適用されないみたいで

数式表現（STIX2 フォント）プロパティ

という感じで予期しないフォントが埋め込まれてしまった。

これを回避するには

#show math.equation: set text(font: ("New Computer Modern Math", "NOTO Serif CJK JP"))

などと指定する。これで New Computer Modern Math ＞ NOTO Serif CJK JP という優先順位でフォントを選択する。

数式表現（STIX2 フォント）プロパティ

ありゃ。 Medium フォントが選択されてる。なんで？うーん。とりあえずこれは置いておこう。

立体か斜体か

数式の場合は基本的にイタリック体または斜体で記述するのが原則だが，以下の例外がある。

数字はローマン体にする（$\mathit{3.14}$ ではなく $3.14$）

複数文字からなる名前はローマン体にする（$sin\,x$ ではなく $\sin x$）

単位記号はローマン体にする（$3\,m$ ではなく $3\,\mathrm{m}$）

『［改訂第9版］LaTeX美文書作成入門』p.94より

ただ立体（upright）か斜体（slant）³ かの規準は学会等によっても違うようで，たとえば積分等に出てくる dx とかでも斜体の $dx$ とするか立体の $\mathrm{d}x$ とするか流儀があるらしい。ちなみに Typst では積分の dx を立体で表現するために dif x と記述する。

$\mathrm{\LaTeX}$ には unicode-math パッケージというのがあって，数式の書体についてはこのパッケージである程度コントロールできる。詳しくは拙文「数式用フォントで遊ぶ」を参考にどうぞ。 Typst には unicode-math パッケージに相当するものはないっぽい？

Typst では $\sin$ などの一般的な演算子（関数）はあらかじめ定義されていて，これらは立体で表示される。

Typst predefines the operators arccos, arcsin, arctan, arg, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, ctg, deg, det, dim, exp, gcd, lcm, hom, id, im, inf, ker, lg, lim, liminf, limsup, ln, log, max, min, mod, Pr, sec, sech, sin, sinc, sinh, sup, tan, tanh, tg and tr.

via Text Operator Function – Typst Documentation

この一覧にない演算子（関数）は自分で定義できる。

#set text(font: "Noto Serif CJK JP", lang: "ja")
#show math.equation: set text(font: "STIX Two Math")

#let GF = math.op("GF")

位数が $q$ である有限体を $GF(q)$ などと表記します。

カスタム演算子（関数）

他に $\int$ などのシンボルは “Symbols” のページまたは sym の項を参照のこと。ちなみに emoji も使える。

#show math.equation: set text(font: "STIX Two Math")

$
  sum_(k=0)^infinity #text(red)[#emoji.suit.heart]^k
$

数学ガールの秘密ノート

シンボルについては $\mathrm{\LaTeX}$ の physica パッケージに近い physica パッケージがあるらしい。

メートル（$\mathrm{m}$）などの単位も立体で表記する。単位等の表現については $\mathrm{\LaTeX}$ の siunitx パッケージに近い metro または unify パッケージを使う手がある。 unify のほうが活況？

\[
  1\,\mathrm{atm} = 1.01325\,\mathrm{bar} = 101,325\,\mathrm{Pa}
\]

\[ 1\,\mathrm{atm} = 1.01325\,\mathrm{bar} = 101,325\,\mathrm{Pa} \]

MathJax だと泥臭い記述になるのはご容赦（MathJax 用の動く siunitx パッケージはないっぽい）。

#import "@preview/unify:0.7.1": qty
#show math.equation: set text(font: "STIX Two Math")

$
  qty("1", "atm") = qty("1.01325", "bar") = qty("101,325", "Pa")
$

気圧単位の換算

同じような感じになったかな。単位表記は値と単位の間のアキを調整する必要があるが unify パッケージなら上手いことやってくれているようだ。

最終手段として，強制的に立体または斜体にする場合は upright または italic 関数を使う。

#show math.equation: set text(font: "STIX Two Math")

$
  upright("Upright, not Italic") \
  "normal string" \
  italic("Italic, not Upright") \
  bold("Bold") \
  italic(bold("Bold Italic")) \
$

立体と斜体

おー。ちゃんと（単なる斜体でない）イタリック体になるんだな。

番号付けと参照

数式の番号付けは equation の設定で行う。

#set text(font: "Noto Serif CJK JP", lang: "ja")
#set math.equation(numbering: "(1)")
#show math.equation: set text(font: "STIX Two Math")

エネルギーと質量には以下の関係がある。

$
  E = m c^2
$

番号付け

また数式には以下のように <label_name> でラベルを付けることができ @label_name で参照できる。

#set text(font: "Noto Serif CJK JP", lang: "ja")
#set math.equation(numbering: "(1)")
#show math.equation: set text(font: "STIX Two Math")

エネルギーと質量には@eq.1 の関係がある。

$
  E = m c^2
$ <eq.1>

ラベルと参照

ラベルはあくまでもマークアップモードでのみ付けることができるみたい。数式モードの中では付けられなかった。参照については後日に改めて扱うことにする。

ブックマーク

ブックマークは「Typst に関するブックマーク」にてまとめています。

参考文献

Typst完全入門: LaTeXより簡単、Markdownより強力、美しいドキュメント作成術: doitsu (著); 2024-12-08 (Release 2024-12-08); Kindle版; B0DPXBNTRS (ASIN); 評価

[Comment] マークアップ言語および組版ツールである Typst についての解説。 Kindle 版のみの提供。固定レイアウトではないためレイアウトが崩れまくって読みにくい。この手の技術解説書は固定レイアウトの Kindle 版か，いっそ PDF で出してほしい。でも Typst についてまとまった解説のある日本語の本は他に見当たらなかったのでありがたい。

reviewed by Spiegel on 2025-02-20 (powered by PA-APIv5)

［改訂第9版］LaTeX美文書作成入門: 奥村晴彦 (著), 黒木裕介 (著); 技術評論社 2023-12-09 (Release 2023-12-09); 単行本（ソフトカバー）; 4297138891 (ASIN), 9784297138899 (EAN), 4297138891 (ISBN); 評価

[Comment] 2023年末に出てるのに気が付かなかった orz 今回は版元で PDF 版を買った。

reviewed by Spiegel on 2024-04-07 (powered by PA-APIv5)

“Math mode” をどう訳すのか悩んだが（英語不得手なもので），「非公式日本語ドキュメント」を見ると「数学」ではなく「数式」となっていたので「数式モード」とした。 ↩︎
Typst のクラウドサービスではフォントアップロードなしに STIX2 フォントが使える。というか TeX Live に収録されている TTF/OTF ファイルは全部使えるっぽい。 ↩︎
厳密にはイタリック体と斜体は異なるのだが（イタリック体にも立体と斜体がある），この記事ではまとめて「斜体」と呼ぶことにする。 ↩︎

2^136279841-1 is Prime!

2024-10-22T22:59:26+00:00

発見された素数の最大数が更新されたようだ。ついに $p$ 値が1億超えたか。

Mersenne Prime Discovery - 2^136279841-1 is Prime!

「メルセンヌ素数（Mersenne prime number）」というのは $M_p = 2^p-1$ で表されるメルセンヌ数¹ $M_p$ のうち素数であるものを指す。 $M_p$ が素数なら $p$ も素数であるという面白い性質がある（逆は成り立たない）。ちなみに $M_p = 2^p-1$ が素数なら $2^{p-1}(2^p-1)$ は完全数² になる。

素数探索プロジェクトで最大のものが GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) プロジェクトである。 GIMPS は分散コンピューティング・プロジェクトで，世界中のコンピュータを使ってメルセンヌ素数を探索している。メルセンヌ数に対しては効率的な素数判定法が知られており分散コンピューティング向きの題材と言える。今回のトピックは GPU を活用した分散コンピューティングソフトウェアを使った初の発見というところだろうか。

なお，メルセンヌ素数 $2^{136,279,841}-1$ を書き記したテキスト・ファイルを zip 圧縮したものが GIMPS のサイトから入手できる。ダウンロードしたら 19MB 以上あったよ（笑）

ブックマーク

参考図書

数学ガールの秘密ノート／整数で遊ぼう: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2013-12-17 (Release 2014-07-24); Kindle版; B00L0PDMJ0 (ASIN); 評価

[Comment] 小中学生にお薦め。小学生高学年くらいならギリで理解可能と思われ。

reviewed by Spiegel on 2014-09-26 (powered by PA-APIv5)

メルセンヌ数の定義（$M_p = 2^p-1$）を見るとなにやら難しそうだが，2進数で考えると簡単である。つまり $p$ 桁の2進数のビットが全て立っている状態がメルセンヌ数である。たとえば 1B, 11B, 111B,… はメルセンヌ数（の定義そのもの）だ。 ↩︎
「完全数（perfect number）」とは「その数自身を除く約数の和がその数自身と等しい自然数」を指す。たとえば $6$ の素因数は $2\times3$ なので $6$ 自身を除く約数の和は $1+2+3=6$ となり完全数と言える。ちなみに $3$ は $2^2-1$ とメルセンヌ素数になっていて， $2^1(2^2-1)=6$ である。 ↩︎

スマホ用関数電卓を物色する — 『関数電卓がすごい』を読んだ

2024-07-06T01:06:41+00:00

Bluesky の早川書房アカウントで以下の本が紹介されていて，タイトルだけ見て衝動買いしてしまった。

関数電卓がすごい (ハヤカワ新書): 芝村裕吏 (著); 早川書房 2024-06-19 (Release 2024-06-19); Kindle版; B0D6QQ3VXT (ASIN); 評価

[Comment] 関数電卓の使い方... というより「価値」評価の話。その方便として関数電卓を使っているわけだ。ちょっと説教くさい文体（笑）

reviewed by Spiegel on 2024-06-20 (powered by PA-APIv5)

反省はしない。

『関数電卓がすごい』を読んだ

タイトル通り関数電卓についての話で，関数電卓の使い方についても書かれているのだが，おそらくこの本の主題は「使い方」ではなく，もっと大きな「価値」評価の話をしてるのかなと思った。

少なくとも現代社会における「価値」の多くは，定性評価ではなく，定量評価である（まぁ value って言うくらいだし）。「量」を評価するのだから計算可能というわけ。だから電卓でも価値の評価ができるのだ。『関数電卓がすごい』の0章では

この世の商売の7割は、数学を嫌がるヒトに対して数学を提供するもの

『関数電卓がすごい』0章より

などと書かれていてクスってなった。

電卓の思ひ出

自分の話で申し訳ないが，実は私は CASIO 派である。ちょうど学生時代にポケットコンピュータ（通称ポケコン）が出始めて，周囲が SHARP のポケコンばっかりだったのに自分だけ CASIO のポケコンで北極星の時角計算プログラムを（BASIC で！）組んだりして遊んでいた¹。

その後ひょんなことから IT 業界に潜り込むことになったのだが，当時勤めていたのが制御系システムのハードとソフトを得意とする会社で，検算のために CASIO の関数電卓を持ち歩いていた。いやぁ，客先での「現地調整」とかで必須だったのよ，関数電卓。つっても主に使ってたのは N 進数演算機能だったけどね。

その後いろいろあって，制御系システムの仕事とも疎遠になり，関数電卓を持ち歩くこともなくなり（うっかり水に落として壊れたのだ），代わりにスマートフォンの電卓アプリを使うようになった。お気に入りは有料の RealCalc Plus で，もう10年以上愛用している。当時はスマホの電卓アプリで N 進数演算ができるのは珍しかったのよ。

電卓か電卓アプリか

『関数電卓がすごい』の著者の方もそうみたいだが（スマホアプリではなく）電卓を愛用する人はスマホのの取り回しの悪さを挙げるよね。まぁ，確かにスマホをスリープから叩き起こして，認証を行って，えんやらやっと電卓アプリを立ち上げる。電卓ならその間に計算終わっとるっちうねん，て感じだろうか。

でもホンマのことを言うと電卓機能ってそんなに使わないんだよね。更に言うと簡単な四則演算なら検索サービスの検索窓に式を入れれば答えが返ってくる。

Google 先生に計算結果を訊く

ブラウザで計算させることのメリットは式をコピペできることだ。しかもパソコンを開いてたら大抵ブラウザも開いてるしね。ブラウザ検索の手間なんかあってないようなものである。

それでも『関数電卓がすごい』で示されている日常生活に密着した計算例はなかなか面白かった。左手に Kindle 端末，右手にスマホを持ちながら楽しく読めたですよ。

ただ，今回『関数電卓がすごい』を読みながら RealCalc Plus を使っていて不満が生じてしまった。 RealCalc Plus は本当に電卓的な操作なので，計算履歴から式を弄って色々試してみるといったことができない。計算履歴は呼び出せるんだけどユーザからは計算結果の値しか参照できないのだ。これは不便！

というわけで，10年振りに関数電卓アプリを物色してみることにした。

スマホ用関数電卓アプリの評価基準

物色を始める前に『関数電卓がすごい』で書かれている内容も参考にしてスマホ用関数電卓アプリの評価基準を挙げておく。以下に示す機能・関数が搭載されていれば『関数電卓がすごい』で楽しく遊ぶことができる。

計算履歴を取得して式が変形できるか

計算履歴を参照・再利用できないアプリは論外。

長押しで裏機能が使えるか

大抵の関数電卓は SHIFT や 2^nd キー押下で裏機能が使えるが，関数電卓アプリによってはキーの長押しで代替できる場合がある。めっさ便利！

N 進数演算機能があるか

2進数・8進数・16進数への変換ができて，それぞれで四則演算ができて，可能ならシフト演算や論理和・論理積の演算ができるとありがたい。

単位変換ができるか

メートル法とヤード・ポンド法との相互変換とか。『関数電卓がすごい』ではカロリー計算の単位変換を例示している。

私は自転車の整備でタイヤの空気圧を調整する関係で圧力の単位とか結構気にしている。おなじみの $\mathrm{Pa}$ や $\mathrm{bar}$ だけじゃなく $\mathrm{psi}$ や $\mathrm{atm}$ といった様々な単位が飛び交ってて分かりにくいったらないので，簡単に単位変換ができるのはありがたい。

単位変換で面倒なのが角度や時刻の変換。 $\mathrm{D}{\tcdegree}\mathrm{M}’\mathrm{S}’’$ や H:M:S があれば比較的簡単に入力や変換ができる。時間の四則演算は正直に言って面倒くさいので，これはかなり助かる。

変数操作ができるか

M+ とか M- とかじゃなくて任意の変数を扱えるか。変数が使えると試行錯誤がしやすい。

1+2×3 が7になるか

昔ながらの電卓は入力した順に逐次評価を行う。たとえば $1$ $+$ $2$ $\times$ $3$ と入力した場合は，まず $1+2$ を計算し，その結果を $3$ 倍するので答えは $9$ になる。まともな関数電卓であれば演算子の優先順位を評価して正しく $1+2\times3=7$ となる筈である。

1÷3×3 が1になるか

厳密に言うと $1$ $\div$ $3$ $=$ で一度計算を確定させたあと $\times$ $3$ $=$ とした場合の計算結果がどうなるかである。

これは関数電卓によって挙動が異なるらしい。想像だけど，もし $1\div3$ の計算結果を有理数 $1/3$ として内部的に保持しているなら，それを $3$ 倍すれば $1$ になる筈である。一方 $1\div3=0.333\cdots$ として保持していれば $3$ 倍すると $0.999\cdots$ となる。

私としては $1\div3\times3$ が $1$ になることを期待したい。さらに言うと $a\frac{b}{c}$ があると計算結果を分数表現にしてくれる。助かる。

y^x があるか

$x^2$ や $x^3$ はあるのに $y^x$ がない関数電卓があるらしい。これがないと複利計算が面倒だと思うのだが。

【2025-02-18 追記】 10¹⁰⁰ + 1 - 10¹⁰⁰ が 1 になるか

面白い記事を見つけた。

電卓アプリを作るのはなぜ難しいのか、Androidの「電卓」に施された工夫とは？ - GIGAZINE

$y^x$ がある電卓であれば $10^{100} + 1 - 10^{100}$ が計算できる。ただし計算過程で「情報落ち」の誤差が発生すると結果が 0 になる。例えば Google 検索を使った場合でもそうなった。

10^100 + 1 - 10^100 by Google

ところが Android 機に標準で付いている電卓アプリでは正しく 1 になる。

10^100 + 1 - 10^100 by Android calculator

件の記事によると，これは任意精度の有理数計算を行っているかららしい。 Go 言語で言うところの math/big.Int および math/big.Rat 型に相当するものかな。

大抵の電卓は有効桁数の仕様が決まっていて，上述のような情報落ちがなく計算できる電卓は少ないかもしれない。

x√y があるか

同じく $\sqrt{\;}$ や $\sqrt[3]{\;}$ はあるのに $\sqrt[x]{y}$ がない関数電卓もあるらしい。これも利息の計算で要るよなぁ。

『関数電卓がすごい』では「5年で売上を2倍にする」などという経営計画が降ってきたときに

\[ \sqrt[5]{2}=1.148698\cdots \]

と計算して，年15%の売上拡大が必要だと評価してみせている。

まぁでも $\sqrt[x]{y}=y^{1/x}$ なので

\[ \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} = 1.148698\cdots \]

$y^x$ があれば代替は可能だから必須ではないか。

log_xy があるか

$\log$ や $\ln$ は大抵あるが $\log_x{y}$ がない関数電卓は多いらしい。たとえば $\log_2{256}=8$ みたいに使える。

ただし $\log_x{y}={\log{y}}/{\log{x}}$ で代替できるので，頻繁に使わないならなくても構わない？

『関数電卓がすごい』ではガチャ（ルートボックスのこと）でレアアイテムを引く確率を例示している。たとえば排出率1%のアイテムを何回引けば50%の確率で引き当てられるかは以下の式で計算できる。

\[ \log_{0.99}{0.5}=68.96756\cdots \]

なるほど。こうやって使うのか。

…ガチャはほどほどに（笑）

逆数計算があるか

$1/x$ または $x^{-1}$ があれば簡単に逆数が取れる。『関数電卓がすごい』ではガソリンの燃費計算を例示しているが，逆数は結構使う機能。たとえばウォーキングで $1\,\mathrm{km}$ を $11$ 分で歩いたとすると

\[ (11\div60)^{-1} = 5.454\cdots \]

と計算すれば時速約 $5.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ で歩いたことになる。むー，ちょっと早歩きだったか。まぁ，逆数なので $60\div11$ で計算してもいいんだけどね。頭の中で式変形しなくても電卓上で試すってのがいいのだろう。

双曲線関数があるか

$\sinh$ $\cosh$ $\tanh$ または $\mathrm{hyp}$ と $\sin$ $\cos$ $\tan$ を組み合わせて双曲線関数が使えるのだが，この関数がない関数電卓もあるようだ。

『関数電卓がすごい』では評価値に下駄を履かせるのに双曲線関数を使ってて面白かった。

nPr , nCr があるか

順列・組み合わせですな。これがない関数電卓もあるらしい。

順列・組み合わせは確率計算では必須要素だが，それ以前に確率計算は前提となる命題の立て方や解釈で間違いが起きやすかったりする。

スマホ用関数電卓アプリを紹介してみる

では，関数電卓アプリの物色をはじめよう。 Android アプリのみ。 iPhone は知らん。

RealCalc Plus

広告付きの無料版もある。 $\log_x{y}$ がない以外は欲しい機能がほぼ揃ってるので長く使っていたが，残念なことに計算履歴の再利用では式の変更ができないため，試行錯誤する際の使い勝手が悪いことに気がついた。

ClassWiz Calc App

CASIO の CLASSWIZ シリーズのエミュレーションができる関数電卓アプリ。電卓を無理やりアプリにしたみたいな感じで動きがぎこちないが CLASSWIZ を購入前に評価するアプリとして考えるのなら悪くない。継続して使うならサブスクリプション契約をする必要がある？

ちょっと試してみたがアプリとしては微妙。これを使うくらいなら電卓を買いなはれってことでしょうな。

Panecal

（広告が下品だったので塗りつぶしている。ご容赦）

広告のない有料版もある。ヘルプが日本語。マジ助かる。

$y^x$ とか $\log_x{y}$ とか双曲線関数とかがない。あと分数表現もできないっぽい。裏機能を使うのに ALT を組み合わせるためか，キーの長押しが使えないのが微妙。

$1$ $\div$ $3$ $=$ $\times$ $3$ $=$ と入力すると $0.999\cdots$ になる。これは Panecal の仕様みたいで $1$ $\div$ $3$ $=$ で確定させたあと ALT Ans $\times$ $3$ $=$ とすれば $1$ になる。 Ans が2種類あるわけやね。

Panecal 自体は単位変換機能を持ってないが，同じメーカーから出ている単位変換アプリと連携できる。マジ日本語助かる（大事なことなので2回言いました）。

あと一歩なんだよなー。せっかく日本語なのに（3回目）。

HiPER Calc Pro

無料版もあるが，あまりの出来のよさにソッコーで有料版を買った。前節で挙げた評価基準は全て満たしている。その上で行列や微積分も使えるし $\sum$ も $\prod$ も使えるし複素数も使える。乱数生成もできるとか！

【2025-02-18 追記】 残念ながら $10^{100} + 1 - 10^{100}$ は 0 になった。

HiPER Calc Pro

変数は $x$, $y$ 以外に自由に名前を付けて定義できるっぽい。 STAT や OTHER を見るとアホみたいに関数が定義されている。しかも関数の自作もできるらしい。

更に更にグラフ描画機能もある。たとえば $\sin(x) + \cos(y)$ を定義して

HiPER Calc Pro (2)

More… を押下すると

HiPER Calc Pro (3)

てな感じに描画してくれる。まぁ，グラフ描画なら表計算ソフトでもできるし，なんなら Gnuplot を使う手もあるんだけど，たとえば $x^2+3x+2=x+6$ みたいな方程式を解く際

HiPER Calc Pro (4)

More… 押下で以下のように視覚的に示してくれるのは嬉しい。

HiPER Calc Pro (5)

ちうわけで，当面はこれをメインに使っていこうと思う。

量は交換できる

最初の方で「現代社会における「価値」の多くは，定性評価ではなく，定量評価である」と書いたが，量で評価することのメリットは異なる価値を比較・交換できることである。そして「価値」評価の基準として多く使われる単位がお金と時間である。だから『関数電卓がすごい』ではお金と時間を単位として複数の価値を評価・比較・交換することをしつこく行っている。

5章で

モチベーションとは要するに野望です。ここでいう野望とは身の丈を超えた大いなる望みのことをいいます。

『関数電卓がすごい』5章より

モチベーションアップのコツは、できることでやりくりしようとしないことと、逆算です。

『関数電卓がすごい』5章より

と書かれていて面白かった。何故異なる価値を評価・比較・交換するかというと「身の丈を超えた大いなる望み」を叶えるためにほかならない。身の丈にあったスローライフが望みならモチベーションなど必要ないのだから。

今どきこういうことを言う人は周りにいなくなったなぁ，というのが『関数電卓がすごい』を読んだ最終的な感想だった。著者の芝村裕吏さんは「狂狷の徒」って感じだろうか。これは読む人を選ぶ本かもしれない。 0章で「啓蒙は厳禁」と書いてあったのも宜なるかな，と思ったり。

というわけで面白い本だったが特に薦めないことにしよう（笑）

参考

ぐだふわエブリデー: 悠木碧 (メインアーティスト); Nippon Columbia Co., Ltd. 2021-04-07 (Release 2021-04-07); MP3 ダウンロード; B08XQGKL6G (ASIN); 評価

[Comment] 夢のぐだふわ生活！

reviewed by Spiegel on 2021-06-24 (powered by PA-APIv5)

今どきの望遠鏡はコンピュータ制御で自動制御が当たり前みたいだが，昔は赤道儀の極軸合わせも人間が手動でやってたので，北極星の時角計算は結構大事だった。 ↩︎

渡し守 hyuki さんによる『群論への第一歩』

2024-03-10T12:02:43+00:00

今朝は放射冷却で氷点下まで下がったけど，よいお天気だったので，いつものように八雲温泉でひとっ風呂 → 宍道湖・松江城定点観測 → 県立図書館で読書三昧というコース。

今日の大山 from 松江城 | Flickr

まぁ，この辺は特筆するようなこともなかったのでさらっと流すとして，今回は最近読んでいる本の紹介など。

群論に至る智慧もしくは彼岸への渡し船

私は宗教関係者ではなく，うろ覚えで申し訳ないのだが，仏教用語の「般若（prajna）」は「悟りに至る智慧」みたいな意味らしい。そこから転じて彼岸へ渡る渡し船のようなイメージができ，更に「船」から女性的なイメージができたみたいな話を聞いたことがある（真偽は不明）。

とするなら『群論への第一歩』は群論に至る智慧もしくは彼岸への渡し船と言っていいだろう。それじゃあ著者の結城浩さんは，さしずめ彼岸（＝群論）への渡し守かな（笑）

群論で挫折する人の話はたまに聞くが，私も例にもれず学生時代に群論に挫折した口でして。いや「丸覚え」するなら単位は取れるのよ。でもそれじゃあ理解したって言えないぢゃん。それに暗記が壊滅的に苦手な私では，丸覚えしてもすぐ忘れるし。

まだ巡回群あたりを読んでいるところなのだが，この本を読んだ最初の感想は「学生時代に読みたかった orz」である。これって書籍版の「数学ガール」シリーズを読んだときにも思ったな。

授業で習う群論の何が難しいって，それまで刷り込まれた「読み書き算盤」をベースにした古典数学からのギャップを感じるからなんだよね。んで「慣れる」前に授業としては終わってしまったりするの。そして「日常生活で使うわけじゃないし，いっかぁ」みたいな感じで諦める。

でもね。少なくともプログラマ（を目指す）なら群論もしくは群論の考え方は絶対に必要なのよ。何故ならプログラミングは論理のコード化だから。これは，この業界に入って歳をとるほどに痛切に感じるようになった。

何より（数学を含めた）理学とは「真理の探求」であり，それを駆動する好奇心こそが人たらしめるのよ。

理学は、真理の探究であり、工学は善の実現である。そして、藝術は美の表現である－－これで所謂「真美善」が揃う

はやぶさ―不死身の探査機と宇宙研の物語より

読んでる途中なのに読書感想文

というわけで『群論への第一歩』の感想文。

『群論への第一歩』配信されてた | Flickr

ラノベ・漫画や軽い読み物ならともかく，こういう真面目な本は自宅だと（他に目移りするものが沢山あるので）なかなか読み進められないのね。なので，週末の図書館の学習室とかでチマチマと読んでたりする。

前述したように群論に「慣れる」には，如何にして「読み書き算盤」の此岸からスムーズに渡って行けるかにかかっている。その点で『群論への第一歩』は抜群に上手いと思う。

他の『プログラマの数学』や『暗号技術入門』にはなかったと思うんだけど「ちょっと一言」というミニコラムみたいなものがかなりの頻度で（しかも煩くない程度に）差し込まれているのね。ミニコラムというか著者によるミニブログみたいな感じ。こういうのって今風だなぁと思ったのだが，どうだろう。

あと，結城浩さんの他の著書と同じく，この本でも章ごとに演習問題（と解答&解説）が載ってるんだけど，演習だからとうっかり読み飛ばしたりすると，後の章に

なぜ、 $(S_3,\circ)$ が G1 を満たすといえるのですか
なぜなら、写像の合成は結合律を満たすからです（p. 59 の問題 2-3）。

『群論への第一歩』p.76より

とか書いてあって「おぅふ」となり慌ててページを戻ったり。実に鬼畜上手い。まぁ，これで演習問題も丁寧に読もうという気になるんだけどね。

これを読めば富士山の5合目くらいの高さまでは行けるだろうか。仕事と違って締切はないので，ゆっくり読み込んでいくことにしよう。

参考

群論への第一歩　集合、写像から準同型定理まで: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2024-03-02 (Release 2024-03-02); Kindle版; B0CR18XWZW (ASIN); 評価

[Comment] タイトルにあるように「群論」へ至る道を指し示す良書。学生時代に読みたかった orz

reviewed by Spiegel on 2024-03-02 (powered by PA-APIv5)

プログラマの数学第2版: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2018-01-16 (Release 2018-02-08); Kindle版; B079JLW5YN (ASIN); 評価

[Comment] タイトル通りプログラマ必読書。第2版では機械学習に関する章が付録に追加された。

reviewed by Spiegel on 2018-03-19 (powered by PA-APIv5)

暗号技術入門第3版　秘密の国のアリス: 結城浩 (著); SBクリエイティブ 2015-08-25 (Release 2015-09-17); Kindle版; B015643CPE (ASIN); 評価

[Comment] SHA-3 や Bitcoin/Blockchain など新しい知見や技術要素を大幅追加。暗号技術を使うだけならこれ1冊でとりあえず無問題。

reviewed by Spiegel on 2015-09-20 (powered by PA-APIv5)

Hugo 0.122 で TeX/LaTeX 数式表現ができるようになった（いまさら？）

2024-01-26T23:52:26+00:00

Hugo 0.122.0 がリリースされた。

Release v0.122.0 · gohugoio/hugo · GitHub

今回の目玉機能は $\mathrm{\TeX}$/$\mathrm{\LaTeX}$ 記法による数式表現に対応したことらしい。えっ，いまさら？あー，いや，そういえば別行立ての数式は shortcode とか使って細工する必要があったな，そういえば。

Hugo で $\mathrm{\TeX}$/$\mathrm{\LaTeX}$ 記法による数式表現に対応するには

サイト設定ファイル hugo.toml (または config.toml) で数式表現用のデリミタ文字列を指定する
数式変換用のパッケージ（MathJax または KaTeX）を導入する

といった手順が必要。

サイト設定ファイルの内容はこんな感じ。

[markup]
  defaultMarkdownHandler = "goldmark"
  [markup.goldmark]
    [markup.goldmark.extensions]
      [markup.goldmark.extensions.passthrough]
        enable = true
        [markup.goldmark.extensions.passthrough.delimiters]
          block = [['\[', '\]'], ['$$', '$$']]

YAML や JSON で書く場合は Hugo のドキュメントを参照のこと。

KaTeX は使ったことがないが MathJax については以前に記事にしたことがあるので参考にどうぞ。

これでたとえば

\[
\begin{aligned}
KL(\hat{y} || y) &= \sum_{c=1}^{M}\hat{y}_c \log{\frac{\hat{y}_c}{y_c}} \\
JS(\hat{y} || y) &= \frac{1}{2}(KL(y||\frac{y+\hat{y}}{2}) + KL(\hat{y}||\frac{y+\hat{y}}{2}))
\end{aligned}
\]

と書けば

\[ \begin{aligned} KL(\hat{y} || y) &= \sum_{c=1}^{M}\hat{y}_c \log{\frac{\hat{y}_c}{y_c}} \\ JS(\hat{y} || y) &= \frac{1}{2}(KL(y||\frac{y+\hat{y}}{2}) + KL(\hat{y}||\frac{y+\hat{y}}{2})) \end{aligned} \]

と展開される（筈）

いや，待て。 \[ ... \] って \begin{equation*} ... \end{equation*} と等価だろ。問題なく処理はされるだろうけど，意味としておかしくないか。

試しに \[ ... \] を外して

\begin{aligned}
KL(\hat{y} || y) &= \sum_{c=1}^{M}\hat{y}_c \log{\frac{\hat{y}_c}{y_c}} \\
JS(\hat{y} || y) &= \frac{1}{2}(KL(y||\frac{y+\hat{y}}{2}) + KL(\hat{y}||\frac{y+\hat{y}}{2}))
\end{aligned}

とすると期待通りには変換しない。 Markdown のパーサが上の記述を丸ごと <p> 要素で囲ってしまうからのようだ。サイト設定で指定したデリミタ文字列を使った

エネルギーと質量には $$E=mc^2$$ の関係がある。

みたいな記述なら

<p>エネルギーと質量には </p>
$$E=mc^2$$
<p> の関係がある。</p>

などとパーサ側でうまく分離してくれるのだが。

\begin{aligned} ... \end{aligned} のような $\mathrm{\LaTeX}$ 環境を無駄に \[ ... \] で囲むのがどうしても嫌な方は，強制的に <div> 要素で囲って

<div>
\begin{aligned}
KL(\hat{y} || y) &= \sum_{c=1}^{M}\hat{y}_c \log{\frac{\hat{y}_c}{y_c}} \\
JS(\hat{y} || y) &= \frac{1}{2}(KL(y||\frac{y+\hat{y}}{2}) + KL(\hat{y}||\frac{y+\hat{y}}{2}))
\end{aligned}
</div>

とすれば markdown のパーサが生の HTML 記述と解釈しスルーしてくれる¹。私は数式専用の shortcode を作って利用している。

{{< fig-math >}}
\begin{aligned}
KL(\hat{y} || y) &= \sum_{c=1}^{M}\hat{y}_c \log{\frac{\hat{y}_c}{y_c}} \\
JS(\hat{y} || y) &= \frac{1}{2}(KL(y||\frac{y+\hat{y}}{2}) + KL(\hat{y}||\frac{y+\hat{y}}{2}))
\end{aligned}
{{< /fig-math >}}

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Mathematics in markdown | Hugo

参考図書

[改訂第8版]LaTeX2ε美文書作成入門: 奥村晴彦 (著), 黒木裕介 (著); 技術評論社 2020-11-14; 大型本; 4297117126 (ASIN), 9784297117122 (EAN), 4297117126 (ISBN); 評価

[Comment] 2020年末に第8版が出てたのに気付かなかったよ。可能なら紙の本も買って常に側に置いておくのが吉。版元には PDF 版もある。

reviewed by Spiegel on 2021-09-05 (powered by PA-APIv5)

たとえば \begin{aligned} ... \end{aligned} のような環境をよく使うというのであれば，デリミタとしてサイト設定ファイル（hugo.toml）に指定するのも手である。 ↩︎

Go 1.21.0 がリリースされた

2023-08-09T04:58:32+00:00

予定通り8月に Go 1.21.0 がリリースされた。

お気づきだろうか。今回のバージョン番号は 1.21 ではなく 1.21.0 なのですよ。これからは2月8月の初期リリースでも後ろにちゃんと 1.xx.0 って付けるんだってさ。これで Go の機械的なバージョン管理がしやすくなると思う。

Windows 7, 8, Server 2008, Server 2012 サポート終了のお知らせ

1.21 からは Windows 10 および Windows Server 2016 が最低要件となる。それより前の Windows バージョンに対応するには 1.20 系が必要。それでも2024年2月でサポートが終わるんだよな。

log/slog パッケージ

個人的に最大のトピックはこれ。 log/slog 構造化ログパッケージが追加されたこと。これでサードパーティの logger も log/slog パッケージの下に統合されることを期待したい。

ログなんて「詳細」ですよ。偉い人には分からんのです。

min/max 組み込み関数

多分，他の言語の人には「今までなかったんかい！」ってツッコまれるんだろうなぁ。マジでなかったんスよ。つか，いわゆる Generics が導入されてようやく実現したというか。

slices, maps, cmp パッケージ

slices, maps, cmp 各パッケージの追加も Generics 導入の恩恵だよね。何せ，今までは配列要素の反転（reverse）でさえ自前で

func reverse(s []int) {
    for i, j := 0, len(s)-1; i < j; i, j = i+1, j-1 {
        s[i], s[j] = s[j], s[i]
    }
}

プログラミング言語Goより

てな感じに書いてたんだぜ。クールだろ（笑）

こうやって Go の標準ライブラリのイケてないところが徐々に解消されていくといいねぇ。 math/rand/v2 のプロポーザルとか見てても，着々と Go 2 に進んでる気がする。

例によって…

Ubuntu の APT で管理している Go コンパイラは古いので，ダウンロードページからバイナリ（go1.21.0.linux-amd64.tar.gz）を取ってきてインストールすることを強く推奨する。以下は完全手動での作業例。

$ cd /usr/local/src
$ sudo curl -L "https://go.dev/dl/go1.21.0.linux-amd64.tar.gz" -O
$ cd ..
$ sudo unlink go # 以前の Go が入っている場合
$ sudo tar xvf src/go1.21.0.linux-amd64.tar.gz
$ sudo mv go go1.21.0
$ sudo ln -s go1.21.0 go
$ go version # /usr/local/go/bin にパスが通っている場合
go version go1.21.0 linux/amd64

Windows は Scoop 経由で OK

複数バージョンの Go コンパイラを扱いたい場合は

$ go install golang.org/dl/go1.21.0@latest
$ go1.21.0 download
$ go1.21.0 version
go version go1.21.0 linux/amd64

てな感じで導入できる。

アップデートは計画的に。

ブックマーク

（随時追加予定）

公式の構造化 Logger (になるかもしれない) slog パッケージ

参考図書

プログラミング言語Go (ADDISON-WESLEY PROFESSIONAL COMPUTING SERIES): Alan A.A. Donovan (著), Brian W. Kernighan (著), 柴田芳樹 (翻訳); 丸善出版 2016-06-20; 単行本（ソフトカバー）; 4621300253 (ASIN), 9784621300251 (EAN), 4621300253 (ISBN); 評価

[Comment] 著者のひとりは（あの「バイブル」とも呼ばれる）通称 “K&R” の K のほうである。この本は Go 言語の教科書と言ってもいいだろう。と思ったら絶版状態らしい（2025-01 現在）。復刊を望む！

reviewed by Spiegel on 2016-07-13 (powered by PA-APIv5)

初めてのGo言語 ―他言語プログラマーのためのイディオマティックGo実践ガイド: Jon Bodner (著), 武舎広幸 (翻訳); オライリージャパン 2022-09-26; 単行本（ソフトカバー）; 4814400047 (ASIN), 9784814400041 (EAN), 4814400047 (ISBN); 評価

[Comment] 2021年に出た “Learning Go” の邦訳版。私は版元で PDF 版を購入。 Go 特有の語法（idiom）を切り口として Go の機能やパッケージを解説している。 Go 1.19 対応。

reviewed by Spiegel on 2022-10-11 (powered by PA-APIv5)

実用 Go言語 ―システム開発の現場で知っておきたいアドバイス: 渋川よしき (著), 辻大志郎 (著), 真野隼記 (著); オライリージャパン 2022-04-22; 単行本（ソフトカバー）; 4873119693 (ASIN), 9784873119694 (EAN), 4873119693 (ISBN); 評価

[Comment] 版元のデジタル版を購入。 Go で躓きやすい点を解説していくのが最初の動機らしい。「◯◯するには」を調べる際にこの本を調べるといいかも。

reviewed by Spiegel on 2022-10-26 (powered by PA-APIv5)

Go言語による並行処理: Katherine Cox-Buday (著), 山口能迪 (翻訳); オライリージャパン 2018-10-26; 単行本（ソフトカバー）; 4873118468 (ASIN), 9784873118468 (EAN), 4873118468 (ISBN); 評価

[Comment] Eブック版もある。感想はこちら。 Go 言語で並行処理を書くならこの本は必読書になるだろう。

reviewed by Spiegel on 2020-01-13 (powered by PA-APIv5)

Go言語による分散サービス ―信頼性、拡張性、保守性の高いシステムの構築: Travis Jeffery (著), 柴田芳樹 (翻訳); オライリージャパン 2022-08-03; 単行本（ソフトカバー）; 4873119979 (ASIN), 9784873119977 (EAN), 4873119979 (ISBN); 評価

[Comment] 版元でデジタル版を購入。読書会の課題図書。ハンズオンぽい構成でコードがたくさん書かれているのがよい。

reviewed by Spiegel on 2022-08-03 (powered by PA-APIv5)

Goならわかるシステムプログラミング第2版: 渋川よしき (著), ごっちん (イラスト); ラムダノート 2022-03-23; 単行本（ソフトカバー）; 4908686122 (ASIN), 9784908686122 (EAN), 4908686122 (ISBN); 評価

[Comment] 第1版はとてもためになる内容だったので第2版も PDF 版で確保しておく。

reviewed by Spiegel on 2022-10-08 (powered by PA-APIv5)

デベロッパーゴースーパーゴラン Tシャツ: Geek Go Super Golang Tees; ウェア&シューズ; B09C2XBC2F (ASIN); 評価

[Comment] ついカッとなってポチった。反省はしない

List of Math [text.Baldanders.info]

算数のお時間

合同式を使って書く

数学的帰納法を使って書く

オイラーの定理を使って書く

中学生はどうやって書く？

参考

ちょこっと MathJax 番外編： V4 へのアップグレード

URL に注意

利用可能なフォントが増えた

MathJax 設定例

参考図書

数学は美しいか — 『数学ガール／リーマン予想』を読む（夏の読書感想文3）

人生王道は学園ラブコメ

再読しなきゃ

数学は美しいか

着地点のその先へ

ブックマーク

参考

円周率の日の皆既月食

ブックマーク

参考図書

Typst の数式モード

LaTeX 記法とは似て非なる…

フォントの設定

立体か斜体か

番号付けと参照

ブックマーク

参考文献

2^136279841-1 is Prime!

ブックマーク

参考図書

スマホ用関数電卓を物色する — 『関数電卓がすごい』を読んだ

『関数電卓がすごい』を読んだ

電卓の思ひ出

電卓か電卓アプリか

スマホ用関数電卓アプリの評価基準

計算履歴を取得して式が変形できるか

長押しで裏機能が使えるか

N 進数演算機能があるか

単位変換ができるか

変数操作ができるか

1+2×3 が7になるか

1÷3×3 が1になるか

yx があるか

【2025-02-18 追記】 10100 + 1 - 10100 が 1 になるか

x√y があるか

logxy があるか

逆数計算があるか

双曲線関数があるか

nPr , nCr があるか

スマホ用関数電卓アプリを紹介してみる

RealCalc Plus

ClassWiz Calc App

Panecal

HiPER Calc Pro

量は交換できる

参考

渡し守 hyuki さんによる『群論への第一歩』

群論に至る智慧もしくは彼岸への渡し船

読んでる途中なのに読書感想文

参考

Hugo 0.122 で TeX/LaTeX 数式表現ができるようになった（いまさら？）

ブックマーク

参考図書

Go 1.21.0 がリリースされた

Windows 7, 8, Server 2008, Server 2012 サポート終了のお知らせ

log/slog パッケージ

min/max 組み込み関数

slices, maps, cmp パッケージ

例によって…

ブックマーク

参考図書

y^x があるか

【2025-02-18 追記】 10¹⁰⁰ + 1 - 10¹⁰⁰ が 1 になるか

log_xy があるか